Question

设函数f（x）=lnx+

a

2

x²-（a+1）x（a＞0，a为常数）
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=1，证明：当x＞1时，f（x）＜

1

2

x²-

2x

x+1

-

x

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）通过求解函数的导函数，通过：当0＜a＜1，a=1，a＞1，分别通过函数的导数列表，然后求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）a=1时，求出f（x），令h（x）=lnx-2x+

2x

x+1

+

x

，（x＞1），将问题转化为求函数的最值问题，从而解决问题．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=ax-（a+1）+

1

x

=

(ax-1)(x-1)

x

，
①当0＜a＜1时，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数是增函数；
当x∈（1，

1

a

）时，f′（x）＜0，函数是减函数；
当x∈（

1

a

，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数．
②当a=1时，
f′（x）=

(x-1)2

x

≥0，对一切x∈（0，+∞）恒成立，
当且仅当x=1时f′（x）=0，
函数是单调增函数，单调增区间（0，+∞）；
③当a＞1时，
当x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＞0，函数是增函数；
当x∈（

1

a

，1）时，f′（x）＜0，函数是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数．
综上：当0＜a＜1时，函数f（x）的单调增区间（0，1）和（

1

a

，+∞），单调减区间是（1，

1

a

）；
当a=1时，函数的单调增区间（0，+∞）；
当a＞1时，函数f（x）的单调增区间（0，

1

a

）和（1，+∞），单调减区间是（

1

a

，1）．
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=lnx+

1

2

x²-2x，
∴证明：当x＞1时，要证f（x）＜

1

2

x²-

2x

x+1

-

x

，
即证明：lnx-2x+

2x

x+1

+

x

＜0，（x＞1），
令h（x）=lnx-2x+

2x

x+1

+

x

，（x＞1）
∴h′（x）=

1

x

-2+

2

(x+1)2

+

1

2 x

，
∴h″（x）=-

1

x2

-

4

(x+1)3

-

1

4

x-

3

2

＜0，
∴h′（x）在（1，+∞）递减，
∴h′（x）＜h′（1）=0，
∴h（x）在（1，+∞）递减，
∴h（x）＜h（1）=0，
∴当x＞1时，f（x）＜

1

2

x²-

2x

x+1

-

x

．

点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性函数的极值，考查分类讨论以及计算能力．