Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=4a_n+S_n-1-a_n-1（n≥2，且n∈N^*）
（1）证明数列{a_n}为等比数列；
（2）若对?n∈N^*，不等式a_n+α＞S_n恒成立，求实数α的最小值；
（3）若c_n=tⁿ[n（lg3+lgt）+lga_n+1]（t＞0），且数列{c_n}中的每一项总小于它后面的项，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1公式证明；（2）求S_n-a_n并转化恒成立问题；（3）注意讨论．

解答： 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
又∵S_n=4a_n+S_n-1-a_n-1，
∴3a_n=a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列．
（2）∵an=(

1

3

)n-1，Sn=

3

2

(1-

1

3n

)，
∴Sn-an=

3

2

(1-

1

3n

)-

1

3n-1

=

3

2

-

1

2•3n-2

∴不等式a_n+α＞S_n恒成立?α＞

3

2

-

1

2•3n-2

对?n∈N*恒成立．
α≥

3

2

．
∴满足条件α的最小值为

3

2

．
（3）cn=tn[n(lg3+lgt)+lgan+1]=ntnlgt
由题意知c_n+1-c_n＞0（n=1，2，3，…）恒成立，
即cn+1-cn=(n+1)tn+1lgt-ntnlgt=(lgt)[(n+1)t-n]tn＞0对任意正整数n恒成立．
∵t＞0，∴tⁿ＞0
①若t＞1，则lgt＞0且t-1＞0⇒（n+1）t-n＞0，n＞

-t

t-1

对任意正整数n恒成立⇒1＞

-t

t-1

，∴t＜

1

2

或t＞1，∴t＞1．
②若t=1，lgt=0不合题意．
③若1＞t＞0，则lgt＜0，且(n+1)t-n＜0(∵t-1＜0)⇒n＞

-t

t-1

对任意正整数n恒成立⇒1＞

-t

t-1

，∴0＜t＜

1

2

，∴0＜t＜

1

2

；
综上，0＜t＜

1

2

或t＞1．

点评：本题考查了a_n=S_n-S_n-1公式的应用及恒成立问题的处理方法与分类讨论的数学思想．