Question

如图1所示，E是矩形ABCD的CD边的中点，且AD=2，AB=4，连AE，将△ADE沿AE翻折（如图2），使平面ADE⊥平面ABCE，F是BD中点，连CF．

（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；
（Ⅱ）求证：AD⊥平面DBE；
（Ⅲ）求四棱锥D-ABCE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取DA中点G，连GF，GE，证明四边形GFCE是平行四边形，利用直线与平面平行的判定定理证明CF∥平面ADE．
（Ⅱ）连EB，证明EB⊥AE，AD⊥DE，利用直线与平面垂直的判定定理证明AD⊥平面DBE．
（Ⅲ）取AE的中点H，判断DH是锥 D-ABCE的锥高，求出高以及S_ABCE，即可求解几何体的体积．

解答： 证明：（Ⅰ）取DA中点G，连GF，GE，则GF

∥

.

1

2

AB 又EC

∥

.

1

2

AB
∴GF

∥

.

EC∴四边形GFCE是平行四边形
∴GE∥FC   而GE?面ADE　且FC?面ADE∴CF∥平面ADE…（4分）
（Ⅱ）连EB，由题意知：AE=EB=2

2

，
AE²+EB²=4²=AB²，∴EB⊥AE
∵平面ADE⊥平面ABCE∴EB⊥平面ADE
∴EB⊥AD，而AD⊥DE，DE∩EB=E，∴AD⊥平面DBE…（8分）
（Ⅲ）取AE的中点H，∵AD=DE
∴DH⊥AE∵平面ADE⊥平面ABCE
∴DH⊥平面ABCE∴DH是锥 D-ABCE的锥高
而 DH=

2

，S_ABCE=

1

2

(2+4)×2=6，
∴VD-ABCE=

1

3

×6×

2

=2

2

．…（12分）

点评：本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．