Question

已知函数f（x）=x²+（a+2）x+b满足f（-1）=-2；
（1）若方程f（x）=2x有唯一的解；求实数a，b的值；
（2）在（1）条件下，求函数f（x）的对称轴及值域（用区间表示）．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过f（-1）=-2以及方程f（x）=2x有唯一的解；列出方程组，即可求实数a，b的值；
（2）在（1）条件下，直接利用二次函数的性质求出函数的对称轴以及函数的值域即可．

解答： 解：（1）由f（-1）=-2知，b-a+1=0①，又f（x）=2x有唯一的解，
即x²+（a+2）x+b=2x，有唯一解，
△=a²-4b=0将①式代入上式得：
（b-1）²=0，
故b=1，代入①得，a=2…（7分）
（2）在（1）条件下，函数f（x）=x²+4x+1，
函数是二次函数，对称轴为：x=-2，
函数的开口向上，x=-2时函数取得最小值：-3，
函数的值域为：[-3，+∞）．

点评：本题考查函数的零点以及二次函数的基本性质，基本知识的应用，考查计算能力．