Question

在R上定义运算?：p?q=-

1

3

（p-c）（q-b）+4bc，记f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，x∈R．令f（x）=f₁（x）?f₂（x）．
（1）若f（x）在x=1处取得极值-

4

3

，求实数b，c的值；
（2）已知f′（x）为f（x）的导函数，若存在实数x，使得f′（x）≥c-lnx，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：由定义求出f（x）和导数．（1）由题意得，f（1）=-

4

3

且f′（1）=0，解出b，c 并检验即可；
（2）存在x＞0，使得f′（x）≥c-lnx，即2b≥x-

lnx

x

，在（0，+∞）有解，令g（x）=x-

lnx

x

，求出导数，再令h（x）=x²+lnx-1，求出导数，判断h（x）的单调性，求得x=1为g（x）的极小值，也为最小值且为1．只要2b不小于最小值即可．

解答： 解：由定义可知，由于f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，x∈R．
令f（x）=f₁（x）?f₂（x），则f（x）=-

1

3

x³+bx²+cx+bc，
f′（x）=-x²+2bx+c，
（1）由题意得，f（1）=-

1

3

+b+c+bc=-

4

3

且f′（1）=-1+2b+c=0，
解得，b=1，c=-1或b=-1，c=3．
当b=1，c=-1时，f′（x）=-x²+2x-1≤0，函数f（x）单调递减，无极值，不合题意．
故b=-1，c=3．
（2）若存在x＞0，使得f′（x）≥c-lnx，即2b≥x-

lnx

x

，在（0，+∞）有解，
令g（x）=x-

lnx

x

，g′（x）=1-

1-lnx

x2

=

x2+lnx-1

x2

，
令h（x）=x²+lnx-1，h′（x）=2x+

1

x

＞0，则h（x）在（0，+∞）单调递增，
又h（1）=0，g′（1）=0，
g′（x）＜0有0＜x＜1；g′（x）＞0有x＞1．
故x=1为g（x）的极小值，也为最小值且为1．
∴2b≥1，即b≥

1

2

．

点评：本题考查函数的导数的综合运用：求单调区间和求极值，考查不等式有解转化为求函数的最值及参数分离法，构造函数求最值，是解题的关键，属于中档题．