Question

20．函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x₁，x₂都有等式f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（1）的值．
（2）判断f（x）的奇偶性并证明．
（3）若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，解关于x的不等式f（3x+1）+f（-6）≤3．

Answer 1

分析 （1）令x₁=x₂ =1，可得f（1）的值．
（2）令x₁ =x₂ =-1，求得f（-1）=0，令x₁ =-1，x₂ =x，可得f（-x）=f（x），从而得出结论．
（3）由题意可得不等式等价于f[-6（3x+1）]≤3，即f（|-6（3x+1）|）≤f（64），故有|-6（3x+1|≤3，且3x+1≠0，由此求得x的范围．

解答 解：（1）令x₁=x₂ =1得，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0．
（2）令x₁ =x₂ =-1，则f（-1）=0，令x₁ =-1，x₂ =x，可得f（-x）=f（x），
又定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，∴f（x）为偶函数．
（3）∵f（4）=1，又f（x₁ •x₂ ）=f（x₁ ）+f（x₂），
∴f（4）+f（4）=f（4×4）=f（16），
∴f（16）+f（4）=f（16×4）=f（64），
∴f（64）=f（4）+f（4）+f（4），∴f（64）=3．
∴f（3x+1）+f（-6）≤3，等价于f[-6（3x+1）]≤3，
∴f（|-6（3x+1）|）≤f（64），
∴|-6（3x+1|≤3 且3x+1≠0，
解得x∈[-$\frac{35}{9}$，-$\frac{1}{3}$）∪（-$\frac{1}{3}$，$\frac{29}{9}$]．

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，属于中档题．