Question

已知

a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2

，则在什么情况下方程组无解、唯一解、无数解？

Answer 1

考点：二阶矩阵

专题：矩阵和变换

分析：本题可以先将二元一次方程组的解用矩阵与向量的积表示，再利用行列式的公式研究方程组的解，分类讨论，得到本题结论．

解答： 解：∵方程组

a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2

，
∴

a1 b1 a2 b2

x y

=

c1 c2

，
记D=

.

a1 b1 a2 b2

.

，Dx=

.

c1 b1 c2 b2

.

，Dy=

.

a1 c1 a2 c2

.

，
（1）当D≠0时，
方程组有唯一解：

x= Dx D y= Dy D

；
（2）当D=0，D_x=0，D_y=0时，
方程组有无数解；
（3）当D=0，D_x≠0，或D=0，D_y≠0时，
方程组无解．
综上，当a₁b₂-a₂b₁≠0时，方程组有唯一解；
当a₁b₂-a₂b₁=0，c₁b₂-c₂b₁=0，a₁c₂-a₂c₁=0时，方程组无解当时方程组有无数解；
当a₁b₂-a₂b₁=0，c₁b₂-c₂b₁≠0或a₁b₂-a₂b₁=0，a₁c₂-a₂c₁≠0时．

点评：本题考查了矩阵与方程组的解，本题难度不大，属于基础题．