Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，向量

AB

=（S_n，p²-a），

CD

=（1，p-1）（n∈N^*），满足

AB

∥

CD

．（其中p为正常数，且p≠1）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若p=

8

7

，数列{b_n}对任意n∈N^*，都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_na₁=（n²-n+1）•(

8

7

)n+1成立，问数列{b_n}中是否存在最大项？若存在，最大项是第几项；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）首先利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件，建立等量关系，进一步利用递推关系式求出数列的通项公式．
（2）利用关系式，使用乘公比错位相减法求出数列的通项公式，进一步讨论数列的增减性，最后确定是否存在最大项．

解答： 解：（1）已知：已知数列{a_n}的前n项和为S_n，向量

AB

=（S_n，p²-a_n），

CD

=（1，p-1）（n∈N^*），满足

AB

∥

CD

．（其中p为正常数，且p≠1）
则：(p-1)Sn=p2-an①
所以：(p-1)Sn+1=p2-an+1②
②-①整理得：

an+1

an

=

1

p

所以：数列为等比数列
当n=1时，求得：a₁=p
所以：an=p(

1

p

)n-1=(

1

p

)n-2
（2）若p=

8

7

，数列{b_n}对任意n≥2，都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_na₁=（n²-n+1）•(

8

7

)n+1①成立，
则：b₁a_n-1+b₂a_n-2+…+b_n-1a₁=[(n-1)2-(n-1)+1](

8

7

)n②
②×

7

8

得：b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_n-1a₂=[(n-1)2-(n-1)+1](

8

7

)n+1③
所以①-③得：b_na₁=(2n-2)(

8

7

)n+1
bn=(2n-2)(

8

7

)n
当n=1时，a₁b₁=(

8

7

)2
由于：a1=p=

8

7

所以：b1=

8

7

所以：b_n=

8 7 (n=1) (2n-2)( 8 7 )n(n≥2)

根据通项公式：数列{b_n}为递增数列，所以不存在最大项．

点评：本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量共线的充要条件，利用递推关系式求数列的通项公式，错位相减法的应用．属于中等题型．