Question

已知椭圆C的两个焦点是(0，-)和(0，)，并且经过点，抛物线E的顶点在坐标原点，焦点F恰好是椭圆C的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；
（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l₁、l₂，l₁交抛物线E于点A、B，l₂交抛物线E于点G、H，求的最小值．

Answer 1

（I）椭圆C的标准方程为；抛物线E的标准方程为；（Ⅱ）最小值为16．

解析试题分析：（I）由题意得c=，，从而=1，椭圆C的标准方程为．该椭圆右顶点的坐标为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以，抛物线E的标准方程为．（Ⅱ）设l₁的方程：，l₂的方程，，，，.注意，且它们交于点，所以可将作如下变形： ==||·||+||·||，这样先将||·||+||·||用表示出来，再利用韦达定理用表示，从而求得其最小值.
试题解析：（I）设椭圆的标准方程为(a>b>0)，焦距为2c，
则由题意得c=，，
∴a=2，=1，
∴椭圆C的标准方程为．                  4分
∴右顶点F的坐标为(1，0)．
设抛物线E的标准方程为，
∴，
∴抛物线E的标准方程为．                  6分
（Ⅱ）设l₁的方程：，l₂的方程，
，，，，
由 消去y得：，
∴ x₁+x₂=2+，x₁x₂=1．
由消去y得：x²-(4k²+2)x+1=0，
∴x₃+x₄=4k²+2，x₃x₄=1，                    9分
∴
=
=||·||+||·||
=|x₁+1|·|x₂+1|+|x₃+1|·|x₄+1|
=(x₁x₂+x₁+x₂+1)+(x₃x₄+x₃+x₄+1)
=8+
≥8+
=16．
当且仅当即k=±1时，有最小值16．        13分
考点：1、椭圆与抛物线；2、直线与圆锥曲线.