已知椭圆
两焦点坐标分别为
,
，一个顶点为
.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为
的直线
，使直线与椭圆交于不同的两点
，满足
. 若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由.
（Ⅰ）
；（Ⅱ）存在，
解析试题分析：（Ⅰ）由题意可得b和c，再根据
，可求得
。即可求出椭圆方程。（Ⅱ）由点斜式设出直线方程，然后联立，消掉y（或x）得到关于x的一元二次方程。因为有两个交点所以判别式大于0，再根据韦达定理得出根与系数的关系。已知，如用两点间距离公式，计算量非常大，故可多分析问题得到设线段
中点为P，则有
，可用直线位置关系列式计算，也可转化为向量用数量积计算，后边的方法计算较为简单。
试题解析：（Ⅰ）设椭圆方程为
.则依题意
，
，所以
于是椭圆的方程为 4分
（Ⅱ）存在这样的直线. 依题意，直线的斜率存在
设直线的方程为
，则
由
得
因为
得
①
设
，线段中点为
，则
于是
因为，所以.
若
，则直线过原点，
，不合题意.
若
，由
得，
，整理得
②
由①②知，
， 所以
又，所以. 14分
考点：（1）椭圆的定义及简单几何性质（2）直线与圆锥曲线的位置关系的问题
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三新快车金牌周周练系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设椭圆的方程为
，斜率为1的直线不经过原点
，而且与椭圆相交于
两点，
为线段
的中点.
（1）问：直线
与能否垂直？若能，求
之间满足的关系式；若不能，说明理由；
（2）已知为
的中点，且
点在椭圆上.若
，求之间满足的关系式.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在平面直角坐标系中，已知点
，点
在直线
：
上运动，过点与垂直的直线和线段
的垂直平分线相交于点
．
(1)求动点的轨迹
的方程；
(2)过(1)中的轨迹上的定点
作两条直线分别与轨迹相交于
，
两点．试探究：当直线
，
的斜率存在且倾斜角互补时，直线
的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C的两个焦点是(0，-
)和(0，)，并且经过点
，抛物线E的顶点在坐标原点，焦点F恰好是椭圆C的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；
（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求
的最小值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图所示,已知椭圆
的两个焦点分别为
、
,且
到直线
的距离等于椭圆的短轴长.
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 若圆
的圆心为
(
),且经过
、,
是椭圆上的动点且在圆外,过作圆的切线,切点为
,当
的最大值为
时,求
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知曲线
的极坐标方程为
，曲线
的极坐标方程为
，曲线、相交于
、
两点.（
）
（Ⅰ）求、两点的极坐标；
（Ⅱ）曲线与直线
（
为参数）分别相交于
两点，求线段
的长度.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的左、右焦点分别为
，且
，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点．
(1)求椭圆方程；
(2)设椭圆与直线
相交于不同的两点M、N，又点
，当
时，求实数m的取值范围，
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
，且经过点
，直线
交椭圆于不同的两点A，B.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）若直线
不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形
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：
，直线
交椭圆
两点.
为直径的圆的方程.