已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
，且经过点
，直线
交椭圆于不同的两点A，B.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）若直线
不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形
（Ⅰ）
；（Ⅱ）
；（Ⅲ）参考解析
解析试题分析：（Ⅰ）已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为，且经过点，利用待定系数法求出椭圆的方程.
（Ⅱ）由于直线交椭圆于不同的两点A，B.所以直线与椭圆方程联立消去y后，得到关于x的一元二次方程，这个方程的的判别式要大于零即可求出m的范围.
（Ⅲ）直线不过点M，要求证直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形.将该问题等价转化为直线MA与直线MB的斜率何为零.所以通过计算两直线的斜率，并用A,B的坐标表示，通过通分整理再结合（Ⅱ）所得的韦达定理即可得分子为零.及证明了斜率和为零从而可结论.
试题解析：(Ⅰ)设椭圆的方程为
，因为
，所以
，又因为，所以
，解得
，故椭圆方程为
(Ⅱ)将
代入并整理得
，
，解得
（Ⅲ）设直线
的斜率分别为
和
，只要证明
.设
，
，
则
。
考点：1.待定系数求椭圆方程.2.直线与椭圆的位置关系.3.直线与椭圆的应用.
科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
两焦点坐标分别为
,
，一个顶点为
.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为
的直线
，使直线与椭圆交于不同的两点
，满足
. 若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知
、
为椭圆
的左、右焦点，且点
在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过
的直线
交椭圆于
两点，则
的内切圆的面积是否存在最大值？
若存在其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（本小题满分12分）已知椭圆
的离心率为
，
在椭圆C上，A，B为椭圆C的左、右顶点．
(1)求椭圆C的方程：
(2)若P是椭圆上异于A，B的动点，连结AP，PB并延长，分别与右准线
相交于M1，M2.问是否存在x轴上定点D，使得以M1M2为直径的圆恒过点D?若存在，求点D的坐标：若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中
、
是过抛物线
焦点
的两条弦，且其焦点
，
，点
为
轴上一点，记
，其中
为锐角．
（1）求抛物线方程；
（2）如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求的大小？
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知双曲线方程2x2－y2＝2.
(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；
(2)过点(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于Q1，Q2两点，且Q1，Q2两点的中点为(1,1)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知椭圆
的方程为
，双曲线
的两条渐近线为
、
.过椭圆的右焦点
作直线
，使
，又与
交于点
，设与椭圆的两个交点由上至下依次为
、
.
（1）若
与的夹角为
，且双曲线的焦距为
，求椭圆的方程；
（2）求
的最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线
的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知经过定点M（2,0）且斜率不为0的直线
交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否另存在一个定点P使得
始终平分
？若存在求出
点坐标；若不存在请说明理由．
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，求曲线过点
的切线方程。