Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，且，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点．
(1)求椭圆方程；
(2)设椭圆与直线相交于不同的两点M、N，又点，当时，求实数m的取值范围，

Answer 1

（1）.
（2）时，的取值范围是；时，的取值范围是

解析试题分析：（1）由已知，可得，，
利用，即得，，求得椭圆方程.
（2）应注意讨论和的两种情况.
首先当时，直线和椭圆有两交点只需；
当时，设弦的中点为分别为点的横坐标，
联立，得,
注意根据，确定   ① 平时解题时，易忽视这一点.
应用韦达定理及中点坐标公式以及 得到 ②，
将②代入①得，解得， 由②得 ，
故所求的取值范围是.
试题解析：（1）由已知，可得，，
∵，∴，，
∴.                            4分
（2）当时，直线和椭圆有两交点只需；             5分
当时，设弦的中点为分别为点的横坐标，由，得, 
由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以
，即   ①                                7分
   9分
又 ②， 10分
将②代入①得，解得， 由②得 ，
故所求的取值范围是.                     12分
综上知，时，的取值范围是；
时，的取值范围是               13分
考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，不等式解法.