已知定点,曲线C是使
为定值的点
的轨迹,曲线
过点
.
(1)求曲线的方程;
(2)直线过点
,且与曲线
交于
,当
的面积取得最大值时,求直线
的方程;
(3)设点是曲线
上除长轴端点外的任一点,连接
、
,设
的角平分线
交曲线
的长轴于点
,求
的取值范围.
(1);(2)
和
;(3)
.
解析试题分析:(1)依题意并结合椭圆的定义,先判断出曲线的轨迹是以原点为中心,以
为焦点的椭圆,从而得出椭圆中参数
的值,由
计算出参数
的值,最后由
计算出
的取值即可得到曲线
的方程;(2)设点
,联立直线与椭圆的方程,消去
得到
,从而由二次方程根与系数的关系得到
,再由弦长公式计算出
,再计算出点
到直线
的距离
,由公式
计算出三角形的面积(含参数
),结合基本不等式可确定面积最大时的
值,从而可确定直线方程;(3)设
,由角平分线可得
=
,化简并代入坐标进行运算,即可得出
,然后根据
,可确定
的取值范围.
试题解析:(1) 2分
曲线C为以原点为中心,
为焦点的椭圆
设其长半轴为,短半轴为
,半焦距为
,则
,
曲线C的方程为
4分
(2)设直线的为
代入椭圆方程
,得
,计算并判断得
,
设,得
到直线
的距离
,设
,则
当时,面积最大
的面积取得最大值时,直线l的方程为:
和
9分
(3)由题意可知:=
,
=
10分
设其中
,将向量坐标代入并化简得:
m(, 12分
因为,所以
, 13分
而,所以
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的焦点坐标为F1(-1,0),F2(1,0),过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P,Q两点,且|PQ|=3.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知分别是椭圆
的左,右顶点,点
在椭圆
上,且直线
与直线
的斜率之积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点为椭圆
上除长轴端点外的任一点,直线
,
与椭圆的右准线分别交于点
,
.
①在轴上是否存在一个定点
,使得
?若存在,求点
的坐标;若不存在,说明理由;
②已知常数,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线l:x-y+
=0与以原点为圆心, 以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,证明:直线AB过定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,动点
满足:点
到定点
与到
轴的距离之差为
.记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)过点的直线交曲线
于
、
两点,过点
和原点
的直线交直线
于点
,求证:直线
平行于
轴.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆的方程为 ,斜率为1的直线不经过原点
,而且与椭圆相交于
两点,
为线段
的中点.
(1)问:直线与
能否垂直?若能,求
之间满足的关系式;若不能,说明理由;
(2)已知为
的中点,且
点在椭圆上.若
,求
之间满足的关系式.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点
在
轴上,抛物线上的点
到
的距离为2,且
的横坐标为1.直线
与抛物线交于
,
两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)当直线,
的倾斜角之和为
时,证明直线
过定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C的两个焦点是(0,-)和(0,
),并且经过点
,抛物线E的顶点在坐标原点,焦点F恰好是椭圆C的右顶点.
(Ⅰ)求椭圆C和抛物线E的标准方程;
(Ⅱ)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2,l1交抛物线E于点A、B,l2交抛物线E于点G、H,求的最小值.
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