已知分别是椭圆的左,右顶点,点在椭圆 上,且直线与直线的斜率之积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点为椭圆上除长轴端点外的任一点,直线,与椭圆的右准线分别交于点,.
①在轴上是否存在一个定点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由;
②已知常数,求的取值范围.
(1);(2)①存在点的坐标为,②.
解析试题分析:(1)利用题目条件建立关于a,b,c的方程组,解方程组即可;
(2)①对于存在性问题,可以先假设点存在,然后根据以及点P在椭圆上直线,与椭圆的右准线分别交于点,等相关条件建立方程,看看点E的横坐标是不是定值,如果是即为所求,如果不是也就说明了不存在;②利用向量的坐标运算,计算, ,进而求出的表达式,在利用函数知识求取值范围.
试题解析:(1)由题意得,,
, ∴,
由点在椭圆C上,则有:
, 2分
由以上两式可解得.
∴椭圆方程为. 4分
(2)①椭圆右准线的方程为. 5分
假设存在一个定点,使得.设点().
直线的方程为,令,,∴点坐标为.
直线的方程为,令,,
∴点坐标为. 7分
若,则,∵ ,,
∴. 9分
∵点在椭圆上,∴,∴ ,代入上式,得 ,
∴,∴点的坐标为. 11分
②∵, ,
∴.
∵,,∴.
∴ . 13分
设函数,定义域为,
当时,即时,在上单调递减,的取值范围为,
当
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已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合,且该椭圆的长轴长为,是椭圆上的的动点.
(1)求椭圆标准方程;
(2)设动点满足:,直线与的斜率之积为,求证:存在定点,
使得为定值,并求出的坐标;
(3)若在第一象限,且点关于原点对称,点在轴的射影为,连接 并延长交椭圆于
点,求证:以为直径的圆经过点.
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已知椭圆C:=1(a>b>0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2,P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-.设直线l过椭圆C的右焦点F,交椭圆C于两点A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)若= (O为坐标原点),求|y1-y2|的值;
(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时,在x轴上是否总存在点Q,使得直线QA,QB的倾斜角互为补角?若存在,求出点Q坐标;若不存在,请说明理由.
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设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若+=8,求k的值.
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如图,焦距为的椭圆的两个顶点分别为和,且与n,共线.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆有两个不同的交
点和,且原点总在以为直径的圆的内部,求实数的取值范围.
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已知点、为双曲线:的左、右焦点,过作垂直于轴的直线,在轴上方交双曲线于点,且.圆的方程是.
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为、,求的值;
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已知椭圆:的左焦点为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点P(-2,0)的直线与椭圆E交于A、B两点,且满足.
①若,求的值;
②若M、N分别为椭圆E的左、右顶点,证明:
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已知定点,曲线C是使为定值的点的轨迹,曲线过点.
(1)求曲线的方程;
(2)直线过点,且与曲线交于,当的面积取得最大值时,求直线的方程;
(3)设点是曲线上除长轴端点外的任一点,连接、,设的角平分线交曲线的长轴于点,求的取值范围.
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(1)已知点和,过点的直线与过点的直线相交于点,设直线的斜率为,直线的斜率为,如果,求点的轨迹;
(2)用正弦定理证明三角形外角平分线定理:如果在中,的外角平分线与边的延长线相交于点,则.
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