Question

已知椭圆:的左焦点为,且过点.

(1)求椭圆的方程;
(2)设过点P(-2,0)的直线与椭圆E交于A、B两点，且满足.
①若,求的值;
②若M、N分别为椭圆E的左、右顶点，证明:

Answer 1

(1)  ;(2)参考解析

解析试题分析：(1)因为由椭圆:的左焦点为,即.由点到两焦点的距离和可求出椭圆的长轴.从而可以求出椭圆的方程.
(2)（1）通过假设直线的方程联立椭圆方程消去y可得一个一元二次方程，由韦达定理即可求出直线的斜率k的值，从而解出A,B两点的坐标，即可得结论.（2）分别求两直线的斜率和，利用韦达定理得到的关系式即可证明斜率和为零.即可得到结论.
试题解析：(1)因为焦点为， C=1，又椭圆过，
取椭圆的右焦点，，由得，
所以椭圆E的方程为 
（2）①设,,

显然直线斜率存在,设直线方程为 
由得: 
得,,
,, 
,符合,由对称性不妨设,
解得, 
②若,则直线的方程为,
将代入得, 不满足题意,同理 
,,


考点：1.椭圆的性质.2.直线与椭圆的位置关系.3.韦达定理.4.几何问题构建代数方法解决.