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已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点轴上,抛物线上的点的距离为2,且的横坐标为1.直线与抛物线交于两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)当直线的倾斜角之和为时,证明直线过定点.

(1);(2)直线恒过定点,证明详见解析.

解析试题分析:(1)设抛物线方程为,由抛物线的定义及即可求得的值;(2)先设点,然后将直线方程与抛物线方程联立消去,根据二次方程根与系数的关系表示出,设直线的倾斜角分别为,斜率分别为,则,进而根据正切的两角和公式可知,其中,代入求得的关系式,此时使有解的有无数组,把直线方程整理得,推断出直线过定点.
试题解析:(1)设抛物线方程为
由抛物线的定义知,又                2分
所以,所以抛物线的方程为                  4分
(2)设
联立,整理得(依题意
                         6分
设直线的倾斜角分别为,斜率分别为,则
                    8分
其中,代入上式整理得
所以                      10分
直线的方程为,整理得
所以直线过定点                          12分.
考点:1.抛物线的定义与方程;2.直线与抛物线的综合问题;3.二次方程根与系数的关系.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆C=1(ab>0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-.设直线l过椭圆C的右焦点F,交椭圆C于两点A(x1y1),B(x2y2).
(1)若 (O为坐标原点),求|y1y2|的值;
(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时,在x轴上是否总存在点Q,使得直线QAQB的倾斜角互为补角?若存在,求出点Q坐标;若不存在,请说明理由.

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已知椭圆:的左焦点为,且过点.

(1)求椭圆的方程;
(2)设过点P(-2,0)的直线与椭圆E交于A、B两点,且满足.
①若,求的值;
②若M、N分别为椭圆E的左、右顶点,证明:

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已知定点,曲线C是使为定值的点的轨迹,曲线过点.
(1)求曲线的方程;
(2)直线过点,且与曲线交于,当的面积取得最大值时,求直线的方程;
(3)设点是曲线上除长轴端点外的任一点,连接,设的角平分线交曲线的长轴于点,求的取值范围.

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已知抛物线,点,过的直线交抛物线两点.
(1)若线段中点的横坐标等于,求直线的斜率;
(2)设点关于轴的对称点为,求证:直线过定点.

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如图,椭圆与椭圆中心在原点,焦点均在轴上,且离心率相同.椭圆的长轴长为,且椭圆的左准线被椭圆截得的线段长为,已知点是椭圆上的一个动点.

⑴求椭圆与椭圆的方程;
⑵设点为椭圆的左顶点,点为椭圆的下顶点,若直线刚好平分,求点的坐标;
⑶若点在椭圆上,点满足,则直线与直线的斜率之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.

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设椭圆的方程为 ,斜率为1的直线不经过原点,而且与椭圆相交于两点,为线段的中点.
(1)问:直线能否垂直?若能,之间满足什么关系;若不能,说明理由;
(2)已知的中点,且点在椭圆上.若,求椭圆的离心率.

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(1)已知点,过点的直线与过点的直线相交于点,设直线的斜率为,直线的斜率为,如果,求点的轨迹;
(2)用正弦定理证明三角形外角平分线定理:如果在中,的外角平分线与边的延长线相交于点,则.

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在平面直角坐标系中,已知过点的椭圆的右焦点为,过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点,点关于坐标原点的对称点为,直线分别交椭圆的右准线两点.

(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点的坐标为,试求直线的方程;
(3)记两点的纵坐标分别为,试问是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.

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