如图,椭圆与椭圆
中心在原点,焦点均在
轴上,且离心率相同.椭圆
的长轴长为
,且椭圆
的左准线
被椭圆
截得的线段
长为
,已知点
是椭圆
上的一个动点.
⑴求椭圆与椭圆
的方程;
⑵设点为椭圆
的左顶点,点
为椭圆
的下顶点,若直线
刚好平分
,求点
的坐标;
⑶若点在椭圆
上,点
满足
,则直线
与直线
的斜率之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
(1),(2)
,(3)
.
解析试题分析:(1)求椭圆方程,基本方法是待定系数法.关键是找全所需条件. 椭圆中三个未知数的确定只需两个独立条件,根据椭圆
的长轴长为
得
,又由椭圆
的左准线
得
,所以
,
,
,就可得到椭圆
的标准方程;由椭圆
与椭圆
离心率相同,得
再由椭圆
过点
,代入可得椭圆
(2)涉及弦中点问题,一般用“点差法”构造等量关系.本题较简单,可直接求出
中点坐标,再利用直线
与椭圆
联立方程组求交点坐标;(3)求定值问题,一是确定定值,这可利用特殊情况給于确定,二是参数选择,不仅要揭示问题本质,更要易于消元,特别是整体消元.本题研究的是直线
与直线
的斜率之积,即它们坐标满足
为定值,参数选为点
的坐标,利用点
的坐标满足
进行整体消元.
试题解析:⑴设椭圆方程为
,椭圆
方程为
,
则,∴
,又其左准线
,∴
,则
∴椭圆方程为
,其离心率为
, 3分
∴椭圆中
,由线段的
长为
,得
,代入椭圆
,
得,∴
,椭圆
方程为
; 6分
⑵,则
中点为
,∴直线
为
, 7分
由,得
或
,
∴点的坐标为
; 10分
⑶设,
,则
,
,
由题意,∴
12分
∴ 14分
∴
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2
,求直线AB的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线l:x-y+
=0与以原点为圆心, 以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,证明:直线AB过定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆的方程为 ,斜率为1的直线不经过原点
,而且与椭圆相交于
两点,
为线段
的中点.
(1)问:直线与
能否垂直?若能,求
之间满足的关系式;若不能,说明理由;
(2)已知为
的中点,且
点在椭圆上.若
,求
之间满足的关系式.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点
在
轴上,抛物线上的点
到
的距离为2,且
的横坐标为1.直线
与抛物线交于
,
两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)当直线,
的倾斜角之和为
时,证明直线
过定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,已知点,点
在直线
:
上运动,过点
与
垂直的直线和线段
的垂直平分线相交于点
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)过(1)中的轨迹上的定点
作两条直线分别与轨迹
相交于
,
两点.试探究:当直线
,
的斜率存在且倾斜角互补时,直线
的斜率是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知曲线的极坐标方程为
,曲线
的极坐标方程为
,曲线
、
相交于
、
两点.(
)
(Ⅰ)求、
两点的极坐标;
(Ⅱ)曲线与直线
(
为参数)分别相交于
两点,求线段
的长度.
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