【题目】给出以下四个命题:
①已知命题p:x∈R,tanx=2;命题q:x∈R,x2﹣x+1≥0,则命题p∧q是真命题;
②过点(﹣1,2)且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+y﹣1=0;
③函数f(x)=2x+2x﹣3在定义域内有且只有一个零点;
④若直线xsin α+ycos α+l=0和直线 垂直,则角 .
其中正确命题的序号为 . (把你认为正确的命题序号都填上)
【答案】①③
【解析】解:对于①,根据正切的定义知命题p是真命题,
而命题q:x∈R,x2﹣x+1≥0,因为△=(﹣1)2﹣4×1×1=﹣3<0,
所以抛物线y=x2﹣x+1开口向上并且与x轴无公共点,故p也是真命题.
因此命题p∧q是真命题,①正确;
对于②,过点(﹣1,2)且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程除了x+y﹣1=0还有y=﹣2x,故②不正确;
对于③,f(x)=2x+2x﹣3在R上是增函数,而且f(0)=﹣2<0,f(1)=1>0
所以函数f(x)=2x+2x﹣3在定义域内有且只有一个零点,故③是真命题;
对于④,直线xsin α+ycos α+l=0和直线 垂直,则sinαcosα﹣ cosα=0,
可得sinα= 或cosα=0,所以α=2kπ+ 或α=2kπ+ 或α=kπ+
由此可得④不正确.
所以答案是:①③
【考点精析】利用复合命题的真假和特称命题对题目进行判断即可得到答案,需要熟知“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真;特称命题:,,它的否定:,;特称命题的否定是全称命题.
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【题目】如图,在多面体ABCDE中,DB⊥平面ABC,AE∥DB,且△ABC为等边三角形,AE=1,BD=2,CD与平面ABCDE所成角的正弦值为 .
(1)若F是线段CD的中点,证明:EF⊥平面DBC;
(2)求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值.
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【题目】如图所示为某几何体形状的纸盒的三视图,在此纸盒内放一个小正四面体,若小正四面体在纸盒内可以任意转动,则小正四面体的棱长的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知点,点为平面上动点,过点作直线的垂线,垂足为,且.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)过点的直线与轨迹交于两点,在处分别作轨迹的切线交于点,设直线的斜率分别为,,求证:为定值.
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【题目】已知y=f(x)为二次函数,若y=f(x)在x=2处取得最小值﹣4,且y=f(x)的图象经过原点,
(1)求f(x)的表达式;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,且AC=BD,平面PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)在△PAD中,AP=2,AD=2 ,PD=4,三棱锥E﹣ACD的体积是 ,求二面角D﹣AE﹣C的大小.
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