Question

【题目】已知函数 ．

（1）求函数 在 处的切线方程；

（2）设 ，讨论函数 的零点个数．

Answer 1

【答案】(1) l;(2) 当时，有 个零点； ， 个零点； ，没有零点;所以 ，零点 个； ，零点 个； ，零点 个．

【解析】试题分析：（1）求函数 在 处的切线方程，应先求其导函数，在 处的切线的斜率就是该点处的导函数值，用直线方程的点斜式可得切线的方程； ，因为，所以考虑函数的零点个数就是考虑函数的零点个数问题，构造函数，求导数，解不等式，得函数在 上单调递减， 上单调递增，求得其在 函数取得极小值 ．根据函数图像、直线及的取值情况可得，当时，有 个零点； ， 个零点； ，没有零点．

试题解析：（1） ， ，

所以函数 在 处的切线方程为 ，即 ．

（2） ， ，可得 ，

设 ，则 ，函数在 上单调递减， 上单调递增，

所以 函数取得极小值 ．

由函数图像、直线及的取值情况可得，

当时，有 个零点； ， 个零点； ，没有零点．

所以 ，零点 个； ，零点 个； ，零点 个．