Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AC=BD，平面PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）在△PAD中，AP=2，AD=2 ，PD=4，三棱锥E﹣ACD的体积是 ，求二面角D﹣AE﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结BD交AC于点O，连结EO．

∵ABCD是平行四边形，∴O为BD的中点．

又E为PD的中点，∴EO∥PB．

∵EO平面AEC，PB平面AEC，∴PB∥平面AEC．

（2）解：∵在△PAD中， ，

∴AP2+AD2=PD2，∴∠PAD=90°，∴PA⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABC，∴PA⊥平面ABC，

在平行四边形ABCD中，AC=BD，∴ABCD为矩形，

∴AB，AD，AP两两垂直．

如图，以A为坐标原点， 的方向为x轴的正方向， 为单位长，建立空间直角坐标系A﹣xyz，

∵E为PD的中点，∴三棱锥E﹣ACD的高为 ，

设AB=m（m＞0），三棱锥E﹣ACD的体积 ，解得m=3=AB．

则 ， ，

设B（3，0，0）（m＞0），则 ．

设 为平面ACE的法向量，

则 ，即 ，取y=﹣1，得 ．

又 为平面DAE的法向量，

由题设 ，

即二面角D﹣AE﹣C的大小是60°．

【解析】（1）连结BD交AC于点O，连结EO，则EO∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．（2）推导出PA⊥AD．则PA⊥平面ABC，以A为坐标原点， 的方向为x轴的正方向， 为单位长，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣C的大小．
【考点精析】利用直线与平面平行的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．