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已知两点F1(-
2
,0)
F2(
2
,0)
,满足条件|PF2|-|PF1|=2的动点P的轨迹是曲线E,直线l:y=kx-1与曲线E交于A、B两点.
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)如果|AB|=6
3
,求直线l的方程.
(Ⅰ)由双曲线的定义可知,
曲线E是以F1(-
2
,0),F2(
2
,0)
为焦点的双曲线的左支
c=
2
,a=1
,易知b=1.
故曲线E的方程为x2-y2=1(x<0)
设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意建立方程组
y=kx-1
x2-y2=1

消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,则
1-k2≠0
△=(2k)2+8(1-k2)>0
x1+x2=
-2k
1-k2
<0
x1x2=
-2
1-k2
>0
解得-
2
<k<-1

即k的取值范围是-
2
<k<-1
.(6分)
(Ⅱ)∵|AB|=
1+k2
•|x1-x2|

=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2

=
1+k2
(
-2k
1-k2
)
2
-4×
-2
1-k2

=2
(1+k2)(2-k2)
(1-k2)2
(8分)
依题意得2
(1+k2)(2-k2)
(1-k2)2
=6
3

整理后得28k4-55k2+25=0,解得k2=
5
7
k2=
5
4

-
2
<k<-1
,∴k=-
5
2

故直线AB的方程为
5
2
x+y+1=0

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A.18B.24C.36D.48

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x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
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双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
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2
2

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(2)双曲线C中是否存在以点P(1,
1
2
)
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2
,求实数k的值.

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5
,则b=______.

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如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,|AB|=2,|AC|=
3
2
,一曲线E过点C,且曲线E上任一点到A,B两点的距离之和不变.
(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程;
(2)设点Q是曲线E上的一动点,求线段QA中点的轨迹方程;
(3)设M,N是曲线E上不同的两点,直线CM和CN的倾斜角互补,试判断直线MN的斜率是否为定值.如果是,求这个定值;如果不是,请说明理由.
(4)若点D是曲线E上的任一定点(除曲线E与直线AB的交点),M,N是曲线E上不同的两点,直线DM和DN的倾斜角互补,直线MN的斜率是否为定值呢?如果是,请你指出这个定值.(本小题不必写出解答过程)

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已知双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
2
,且经过点(4,-
10
).
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)设F1、F2为双曲线C的左、右焦点,若双曲线C上一点M满足F1M⊥F2M,求△MF1F2的面积.

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