Question

3．已知函数f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1
（1）求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时相应的x的取值集合；
（2）设0≤φ≤$\frac{π}{2}$，若函数f（x+φ）是偶函数，求φ的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，令2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$求得函数取最大值时，x的集合．
（2）利用（1）中函数解析式，根据三角函数单调性求得函数的单调增区间．

解答 解：（1）f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1
=4cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）-1
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=kπ+$\frac{π}{6}$时，k∈Z，y取得最大值为2，此时自变量x的取值集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}；  
（2）∵函数f（x+φ）=2sin[2（x+φ）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+2φ+$\frac{π}{6}$）是偶函数，
∴2φ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），解得φ=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，（k∈Z），
∴当且仅当取 k=0时，得φ=$\frac{π}{6}$，符合0≤φ≤$\frac{π}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．解题过程中常需要结合三角函数的图象来解决函数最值问题，属于基本知识的考查．