Question

13．函数f（x），x∈R．
（1）若对任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）+f（b），求证：f（x）为奇函数；
（2）若对于任意实数x₁，x₂，都有f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）•f（x₂），求证：f（x）为偶函数．

Answer 1

分析 （1）对任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）+f（b），取a=b=0，可得f（0）=0．任取x=a，-x=b，则f（0）=f（x）+f（-x），即可证明．
（2）任取x₁=x=x₂，则f（2x）+f（0）=2f（x）•f（x）．任取x₁=x=-x₂，则f（0）+f（2x）=2f（x）•f（-x）．可得f（x）[f（-x）-f（x）]=0，即可证明．

解答 证明：（1）∵对任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）+f（b），
取a=b=0，则f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0．
任取x=a，-x=b，则f（0）=f（x）+f（-x），
则f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．
（2）任取x₁=x=x₂，则f（2x）+f（0）=2f（x）•f（x）．
任取x₁=x=-x₂，则f（0）+f（2x）=2f（x）•f（-x）．
∴f（x）[f（-x）-f（x）]=0，
∴f（x）=0或f（-x）=f（x），x∈R．
∴f（x）为偶函数．

点评 本题考查了抽象函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．