Question

11．已知定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），若对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-e^x）]=e²+2，则f（1）等于（　　）

• A． e
• B． 3
• C． e+1
• D． e+2

Answer 1

分析 单调函数的函数值和自变量的关系是一一对应的，所以根据已知条件知道存在唯一的实数t₀，使得f（t₀）=e²+2，所以再根据f[f（x）-x²]=e²+2，即可得到f（e²+2-${e}^{{t}_{0}}$）=e²+2，所以根据f（x）为单调函数得到e²+2-${e}^{{t}_{0}}$=t₀，解出t₀=2，即f（2）=e²+2，所以根据f[f（1）-e]=e²+2便得到2=f（1）-e，这便可求出f（1）．

解答 解：∵f（x）为定义在（0，+∞）上的单调函数；
∴e²+2对应着唯一的实数设为t₀，使f（t₀）=e²+2，t₀＞0；
∴f[f（t₀）-${e}^{{t}_{0}}$）]=e²+2，
∴e²+2-${e}^{{t}_{0}}$=t₀；
解得t₀=2；
∴f（2）=e²+2；
又∵f[f（1）-e]=e²+2；
∴2=f（1）-e；
∴f（1）=e+2．
故选：D．

点评 考查单调函数的自变量和函数值的对应关系为：一一对应，注意本题的函数f（x）的定义域，注意对条件f[f（x）-e^x]=e²+2的运用．