Question

2．已知f（x）=ax³-6x²+b（a≠0），在[1，2]上单调递增，且最大值为1．
（1）求实数a和b的取值范围；
（2）当a取最小值时，试判断方程f（x）=24x的根的个数．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，由题意f′（x）≥0在[1，2]恒成立，运用参数分离，可得a的范围，再由f（2）=1，可得b的范围；
（2）求出f（x）的解析式，再令g（x）=4x³-6x²-24x-7，求出导数，求得单调区间和极值，判断符号，即可得到根的个数．

解答 解：（1）f（x）=ax³-6x²+b的导数为f′（x）=3ax²-12x，
由在[1，2]上单调递增，可得f′（x）≥0在[1，2]恒成立，
即有a≥$\frac{4}{x}$的最大值，由$\frac{4}{x}$∈[2，4]，
可得a≥4，
又在[1，2]上单调递增，且最大值为1．
即有f（2）=1，即有8a-24+b=1，
即b=25-8a≤-7．
则a，b的范围是a≥4，b≤-7；
（2）由（1）可得a=4，b=-7，
f（x）=4x³-6x²-7，
f（x）=24x即为4x³-6x²-24x-7=0，
令g（x）=4x³-6x²-24x-7，g′（x）=12x²-12x-24，
当x＞2或x＜-1时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当-1＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有x=-1处取得极大值，且为7，
x=2处取得极小值，且为-47．
且x→+∞，g（x）→+∞；x→-∞，g（x）→-∞．
则方程f（x）=24x的根的个数为3．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查函数的单调性的运用，函数和方程的转化思想，考查运算能力，属于中档题．