Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，且，.

（1）证明：面；

（2）在上是否存在点，使平面，若存在，请计算的值，若不存在，请说明理由；

（3）若，求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）存在，（3）

【解析】

（1）可通过题干中的线段关系求出对应的各底边弦长，得到，通过线面垂直的判定定理结合，可证，又由三边关系可得，进而得证；

（2）可连接，交于点，连接，利用相似三角形关系可确定点应为上靠近的三等分点，进而求证；

（3）在线段上取点，使，则，作于，连接通过三垂线法得证，再结合等体积法，即可求解到平面的距离.

（1）∵在底面中，，，且，

，，，

又，，平面，平面，

平面，又平面，，

，，.

又，，平面，平面，

平面.

（2）存在点，当时，使平面，

连接，交于点，

因为，所以，所以在中，要使，则即可，所以，在上存在点，当时平面

（3）在线段上取点，使，则，

又由（1）得平而，平面，

又平面，，

作于，连接

又，平面，平面，

平面，

又平面，

，

设点到平面的距离为，则由得.

∴点到平面的距离.