Question

若直线l：x-

3

y=0与曲线C：

x=a+ 2 cosφ y= 2 sinφ

（φ为参数，a＞0）有两个公共点A，B，且|AB|=2，则实数a的值为

 

．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：本题可以将曲线C的方程化成普通方程，利用直线和曲线C的方程联列方程组，得到相应的一元二次方程，根据弦长公式，列出关于a的方程，解方程得本题结论．

解答： 解：∵曲线C：

x=a+ 2 cosφ y= 2 sinφ

（φ为参数，a＞0），
∴消去参数φ得到（x-a）²+y²=2．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

(x-a)2+y2=2 x- 3 y=0

得4x²-6ax+3a²-6=0．
∵直线l与曲线C有两个公共点A，B，且|AB|=2，
∴|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

1+k2

|x2-x1|
=

1+ 1 3

36a2-16(3a2-6)

4

=

8-a2

．
∵|AB|=2，
∴

8-a2

=2，
∴a=±2．
故答案为：±2

点评：本题考查了参数方程与普通方程的关系和弦长公式，圆内的弦长还可以利用弦心距的长去研究，本题有一定的计算量，属于中档题．