Question

11．已知：多面体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AB⊥BC，AB=BC=2AD=2，平面BCEF⊥平面ABCD，四边形BCEF为等腰梯形，EF=1，EC⊥AF，EF∥BC．
（1）求：E到平面ABCD的距离；
（2）求：二面角A-ED-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取EF、BC中点M，O，连结MO，设MO=a，分别以OD、OC、OM为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出E到平面ABCD的距离．
（2）分别求出平面ADEF的法向量和平面CDE的法向量，利用向量法能求出二面角A-ED-C的余弦值．

解答 解：（1）取EF、BC中点M，O，连结MO，设MO=a，
∵ABCD是等腰梯形，∴OM⊥BC，
∵平面BCEF⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面BCEF=BC，OM?平面BCEF，
∴OM⊥平面ABCD，
分别以OD、OC、OM为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，-1，0），F（0，-$\frac{1}{2}$，a），C（0，1，0），E（0，$\frac{1}{2}$，a），
$\overrightarrow{AF}$=（-2，$\frac{1}{2}$，a），$\overrightarrow{CE}$=（0，-$\frac{1}{2}$，a），
∵EC⊥AF，∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CE}$=-$\frac{1}{4}+{a}^{2}$=0，
解得a=$\frac{1}{2}$（a＞0），
∴E到平面ABCD的距离为$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）得A（2，-1，0），D（2，0，0），C（0，1，0），E（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），F（0，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{AE}$=（-2，$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（0，1，0），$\overrightarrow{CE}$=（0，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{CD}$=（2，-1，0），
设平面ADEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-2x+\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，4），
设平面CDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=2a-b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=-\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，2，2），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1+8}{\sqrt{17}•\sqrt{9}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$，
∵二面角A-ED-C的平面角是钝角，∴二面角A-ED-C的余弦值为-$\frac{3\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．