Question

6．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，AA₁=2AB=2，E是DD₁上的一点，且满足B₁D⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥AE；
（Ⅱ）求二面角D-AE-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由B₁D⊥平面ACE，求出DE=$\frac{1}{2}$，由此利用向量法能证明A₁D⊥AE．
（Ⅱ）求出平面AEC的法向量和平面ADE的法向量，利用向量法能求出二面角D-AE-C的平面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，
AA₁=2AB=2，E是DD₁上的一点，且满足B₁D⊥平面ACE，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A₁（1，0，2），D（0，0，0），A（1，0，0），B₁（1，1，2），C（0，1，0），
设E（0，0，t），0≤t≤2，
$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-1，-1，-2），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，t），
∵B₁D⊥平面ACE，∴$\overrightarrow{{B}_{1}D}•\overrightarrow{AE}$=1-2t=0，解得t=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，0，-2），$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$），∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}•\overrightarrow{AE}=1+0-1=0$，
∴A₁D⊥AE．
解：（Ⅱ）$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
设平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-x+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
又平面ADE的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设二面角D-AE-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1|}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴二面角D-AE-C的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．