Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥BD．
（1）证明：PD=PB；
（2）若PD⊥PB，∠DAB=60°，PA=AD，求二面角B-PA-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC，交BD于点O，连结PO，推导出BD⊥AC，BD⊥PA，从而BD⊥平面PAC，进而BD⊥PO，由BO=DO，能证明PD=PB．
（2）以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PA-D的余弦值．

解答 证明：（1）连结AC，交BD于点O，连结PO，
∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，且O为BD与AC的中点，
又∵BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，
∵PO?平面PAC，∴BD⊥PO，又BO=DO，
∴PD=PB．
解：（2）∵PD=PB，且O是BD中点，∴BO=DO，
又∵PA=AD，∴△AOD≌△AOP，∴PO⊥OA，
从而OA，OB，OP两两互相垂直，
以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵∠DAB=60°，∴△CBB₁为等边三角形，又PA=AD，
则P（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），B（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），A（1，0，0），D（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
$\overrightarrow{PB}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{AD}$=（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PAB的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\frac{\sqrt{3}}{3}y-\frac{\sqrt{3}}{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=x-\frac{\sqrt{3}}{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
设平面PAD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=a-\frac{\sqrt{3}}{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=-a-\frac{\sqrt{3}}{3}b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
设二面角B-PA-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{7}•\sqrt{7}}$=$\frac{1}{7}$，
∴二面角B-PA-D的余弦值为$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查线段相等的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．