Question

8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，平面BDEF⊥平面ABCD，四边形BDEF是正方形，点M在线段EF上，$\overrightarrow{EM}$=λ$\overrightarrow{EF}$．
（Ⅰ）当λ=$\frac{1}{2}$，求证：BM∥平面ACE；
（Ⅱ）如二面角A-BM-C的平面角的余弦值为-$\frac{7}{13}$，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）M是EF的中点，设AC∩BD=O，连结OE，则BM∥OE，由此能证明BM∥平面ACE．
（Ⅱ）以O为原点，OB，OC分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ的值．

解答 证明：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{EM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{EF}$，∴M是EF的中点，
设AC∩BD=O，连结OE，则BM∥OE，
又∵BM?平面ACE，OE?平面ACE，
∴BM∥平面ACE．
解：（Ⅱ）以O为原点，OB，OC分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，
A（0，-$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），M（2λ-1，0，2），
$\overrightarrow{AB}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BM}$=（2λ-2，0，2），$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
设平面ABM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0$，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=0}\\{（2λ-2）x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，-1，\frac{\sqrt{3}（2-2λ）}{2}$），
设平面BCM的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0，\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a+\sqrt{3}b=0}\\{（2λ-2）a+2c=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，\frac{\sqrt{3}（2-2λ）}{2}$），
∵二面角A-BM-C的平面角的余弦值为-$\frac{7}{13}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2+\frac{3}{4}（2-2λ）^{2}}{4+\frac{3}{4}（2-2λ）^{2}}=\frac{7}{13}$，
解得$λ=\frac{2}{3}$，或$λ=\frac{4}{3}$（舍）．
故实数λ的值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．