Question

13．试通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决下列问题：
如图，已知四边形ABCD和BCEF均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BF，且∠BCD=∠BCE=90°，平面ABCD⊥平面PCEF，BC=CD=CE=2AD=2BF=2
（Ⅰ）证明：AF∥平面BDE
（Ⅱ）求锐二面角A-DE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF∥平面BDE．
（Ⅱ）求出平面ADE的法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出锐二面角A-DE-B的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面BCEF，平面ABCD∩平面BCEF=BC，
CE⊥BC，CE?平面BCEF，∴EC⊥平面ABCD，
∴EC、BC、CD两两垂直，
以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），A（2，1，0），F（0，2，1），
设平面BDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{EB}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{ED}$=（2，0，-2），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=2y-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=2x-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
$\overrightarrow{AF}$=（-2，1，1），$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{m}$=0，∴$\overrightarrow{AF}⊥\overrightarrow{m}$，
∵AF?平面BDE，∴AF∥平面BDE．
（Ⅱ）设平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），平面ADE和平面BDE成锐二面角为θ，
$\overrightarrow{DA}$=（0，1，0），$\overrightarrow{DE}$=（-2，0，2），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-2a+2c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
由（Ⅰ）知平面BDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1+1}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴锐二面角A-DE-B的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查锐二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．