Question

5．已知函数f（x）=e^2x-1-2x-kx²
（Ⅰ）当k=0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求k的取值范围．
（Ⅲ）试比较$\frac{{{e^{2n}}-1}}{{{e^2}-1}}$与$\frac{{2{n^3}+n}}{3}$（n∈N^*）的大小关系，并给出证明：（${1^2}+{2^2}+{3^2}+…+{n^2}=\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$）

Answer 1

分析 （I）求得函数f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（II）求出f（x）的导数f′（x），再求导数f''（x），讨论k的范围，①当2k≤4即k≤2时，②当2k＞4即k＞2时，求出导数符号，确定单调性，即可得到所求范围；
（Ⅲ）由（II）知，e^2x≥1+2x+2x²，令x=1，2，…，n-1，可得n-1个不等式，累加，运用不等式的性质和求和公式，即可得到所求大小关系．

解答 解：（I）函数f（x）=e^2x-1-2x的导数为f′（x）=2（e^2x-1），
∵x＞0时f′（x）＞0，x＜0时f′（x）＜0，
∴单调递增区间为（0，+∞）；单调递减区间为（-∞，0）；
（II）f（x）的导数为f′（x）=2e^2x-2-2kx，f''（x）=4e^2x-2k，
①当2k≤4即k≤2时，f''（x）＞0⇒f′（x）单调递增⇒f′（x）≥0⇒f（x）单调递增
⇒f（x）≥f（0）=0恒成立，∴k≤2使原式成立；
②当2k＞4即k＞2时，?x₀＞0使x∈[0，x₀）时f''（x）＜0⇒f′（x）单调递减
⇒f′（x）≤f′（0）=0⇒f（x）单调递减⇒f（x）＜f（0）=0不满足条件．
综上可得，k≤2；
（Ⅲ）由（II）知，当k=2时，e^2x-1-2x-kx²≥0成立，即e^2x≥1+2x+2x²，
取x=n得e²ⁿ＞1+2n+2n²，e²＞1+2+2，e⁴＞1+2×2+2×2²，e⁶＞1+2×3+2×3²，
…e^2（n-1）＞1+2（n-1）+2（n-1）²，
∴$\frac{{{e^{2n}}-1}}{{{e^2}-1}}=1+{e^2}+{e^4}+…+{e^{2（n-1）}}$＞n+2[1+2+3+…+（n-1）]+2[1²+2²+…+（n-1）²]
=$n+n（n-1）+\frac{n（n-1）（2n-1）}{3}=\frac{{2{n^3}+n}}{3}$．
所以$\frac{{{e^{2n}}-1}}{{{e^2}-1}}$≥$\frac{{2{n^3}}}{3}+\frac{n}{3}$（n=1时取等号）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查两式的大小比较，注意运用不等式的性质和累加法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．