Question

4．若奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（2+x）+f（2-x）=0，且f（1）=9，则f（2014）+f（2015）+f（2016）的值为-9．

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性与抽象函数求出函数的周期，化简所求的表达式，求解即可．

解答 解：∵奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（2+x）+f（2-x）=0，
可得：f（x+2）=f（x-2），∴函数的周期T=4，f（1）=9，
且对任意x都有f（-x）=-f（x），
取x=0可得f（0）=-f（0），解得f（0）=0，
x=0时，f（2）=0
∴f（2014）+f（2015）+f（2016）=f（2）+f（-1）+f（0）=-f（1）+0=-9
故答案为：-9．

点评 本题考查函数的周期性和奇偶性，抽象函数的应用，考查转化思想以及计算能力．