Question

20．为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．
（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；
（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名学生的成绩，记获优秀成绩的总人数为X，求X的分布列．

Answer 1

分析 （1）由茎叶图知甲班样本的5个数据中优秀成绩有2个，非优秀成绩有3个，由此能求出从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，其中只有一个优秀成绩的概率．
（2）由茎叶图知甲班样本的5个数据中优秀成绩有2个，非优秀成绩有3个，乙班样本的5个数据中优秀成绩有1个，非优秀成绩有4个，X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．

解答 解：（1）由茎叶图知甲班样本的5个数据中优秀成绩有2个，非优秀成绩有3个，
从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，
基本事件总数n=5×5=25，
其中只有一个优秀成绩包含的基本事件个数为：
m=2×3+3×2=12，
∴其中只有一个优秀成绩的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{12}{25}$．
（2）由茎叶图知甲班样本的5个数据中优秀成绩有2个，非优秀成绩有3个，
乙班样本的5个数据中优秀成绩有1个，非优秀成绩有4个，
∴X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{18}{100}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}+\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{48}{100}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{2}}+\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{30}{100}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}•\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{4}{100}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{18}{100}$	$\frac{48}{100}$	$\frac{30}{100}$	$\frac{4}{100}$

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．