Question

17．已知f（x）是定义在区间（0，+∞）上的增函数，f（2）=1，且对于任意a，b∈（0，+∞），$f（a）-f（b）=f（\frac{a}{b}）$恒成立．
（I）求f（8）；
（II）求不等式$f（x+2）-f（\frac{1}{2x}）＜1+f（{x^2}+4）$的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用条件、恒等式和赋值法即可求f（8）的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和恒等式将不等式等价转化为f（2x²+4x）＜f（2x²+8），结合函数的定义域、单调性列出不等式组，求解即可．

解答 解：解：（Ⅰ）令a=xy，b=y，则$f（a）-f（b）=f（\frac{a}{b}）$恒成立⇒任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．
由题意得，f（2）=1，任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）成立，
令x₁=x₂=2，得f（4）=2f（2）=2，
令x₁=4，x₂=2，得f（8）=f（4）+f（2）=3；
（Ⅱ）不等式$f（x+2）-f（\frac{1}{2x}）＜1+f（{x^2}+4）$?f（2x（x+2））＜f（2）+f（x²+4）⇒f（2x²+4x）＜f（2x²+8）⇒

$\left\{\begin{array}{l}{x+2＞0}\\{2x＞0}\\{2{x}^{2}+4x＜2{x}^{2}+8}\end{array}\right.$解得0＜x＜2．故不等式解集为：（0，2）

点评 本题考查了抽象函数的赋值法及抽象不等式的转化．属于基础题．