Question

9．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.（φ为参数）$，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的极坐标方程是l，射线$OM：θ=\frac{π}{3}$与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 （I）利用cos²φ+sin²φ=1，把圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.（φ为参数）$化为（x-1）²+y²=1，利用互化公式可得极坐标方程．
（II）设（ρ₁，θ₁）为点P的极坐标，由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=2cos{θ}_{1}}\\{{θ}_{1}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₁．设（ρ₂，θ₂）为点Q的极坐标，由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{2}（sin{θ}_{2}+cos{θ}_{2}）=3\sqrt{3}}\\{{θ}_{2}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₂．由θ₁=θ₂，可得|PQ|=|ρ₁-ρ₂|．

解答 解：（I）利用cos²φ+sin²φ=1，把圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.（φ为参数）$化为（x-1）²+y²=1，
∴ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
（II）设（ρ₁，θ₁）为点P的极坐标，由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=2cos{θ}_{1}}\\{{θ}_{1}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₁=1．
设（ρ₂，θ₂）为点Q的极坐标，由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{2}（sin{θ}_{2}+cos{θ}_{2}）=3\sqrt{3}}\\{{θ}_{2}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₂=3．
∵θ₁=θ₂，∴|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=2．
∴|PQ|=2．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直角标准方程化为极坐标方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．