Question

19．已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x_n}是一个公差为2的等差数列，满足f（x₇）+f（x₈）=0，则x₂₀₁₇的值为4019．

Answer 1

分析 设设x₇=x，则x₈=x+2，则f（x）+f（x+2）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，f（x+1）=0=f（0），x₇=-1．设数列{x_n}通项x_n=x₇+2（n-7）．得到通项x_n=2n-15．由此能求出x₂₀₁₁的值．

解答 解：设x₇=x，则x₈=x+2，
∵f（x₇）+f（x₈）=0，
∴f（x）+f（x+2）=0，
结合奇函数关于原点的对称性可知，
∴f（x+1）=0=f（0），
即x+1=0．
∴x=-1，
设数列{x_n}通项x_n=x₇+2（n-7）=2n-15
∴x₂₀₁₇=2×2017-15=4019．
故答案为：4019

点评 本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．