Question

4．已知椭圆C₁，抛物线C₂焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C₁的左焦点到C₂的准线之间的距离为（　　）

x	3	-2	4	$\sqrt{2}$
y	$-2\sqrt{3}$	0	-4	$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

• A． $\sqrt{2}-1$
• B． $\sqrt{3}-1$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由表可知：抛物线C₂焦点在x轴的正半轴，设抛物线C₂：y²=2px（p＞0），则有$\frac{{y}^{2}}{x}$=2p（x≠0），将（3，-2$\sqrt{3}$），（4，-4）在C₂上，代入求得2p=4，即可求得抛物线方程，求得准线方程，设椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），把点（-2，0），（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），即可求得椭圆方程，求得焦点坐标，即可求得C₁的左焦点到C₂的准线之间的距离．

解答 解：由表可知：抛物线C₂焦点在x轴的正半轴，设抛物线C₂：y²=2px（p＞0），则有$\frac{{y}^{2}}{x}$=2p（x≠0），
据此验证四个点知（3，-2$\sqrt{3}$），（4，-4）在C₂上，代入求得2p=4，
∴抛物线C₂的标准方程为y²=4x．则焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=-1，
设椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），把点（-2，0），（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{0}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴C₁的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
由c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
左焦点（$\sqrt{3}$，0），
C₁的左焦点到C₂的准线之间的距离$\sqrt{3}$-1，
故选B．

点评 本题考查椭圆与抛物线的标准方程及简单几何性质，考查待定系数法的应用，考查计算能力，属于中档题．