Question

9．设集合M_a={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．
（1）若f（x）=2^x-x²，试判断f（x）是否为M₁中的元素，并说明理由；
（2）若$g（x）={x^3}-\frac{1}{4}x+3$，且g（x）∈M_a，求a的取值范围；
（3）若$h（x）={log_3}（x+\frac{k}{x}），\;\;x∈[1，+∞）$（k∈R），且h（x）∈M₂，求h（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用f（1）=f（0）=1，判断f（x）∉M₁．
（2）f（x+a）-f（x）＞0，化简，通过判别式小于0，求出a的范围即可．
（3）由f（x+a）-f（x）＞0，推出$h（x+2）-h（x）={log_3}[（x+2）+\frac{k}{x+2}]-{log_3}（x+\frac{k}{x}）＞0$，
得到$x+2+\frac{k}{x+2}＞x+\frac{k}{x}＞0$对任意x∈[1，+∞）都成立，然后分离变量，通过当-1＜k≤0时，当0＜k＜1时，分别求解最小值即可．

解答 解：（1）∵f（1）=f（0）=1，∴f（x）∉M₁．…（4分）
（2）由$g（x+a）-g（x）={（x+a）^3}-{x^3}-\frac{1}{4}（x+a）+\frac{1}{4}x=3a{x^2}+3{a^2}x+{a^3}-\frac{1}{4}a＞0$…（2分）
∴$△=9{a^4}-12a（{a^3}-\frac{1}{4}a）＜0$，…（3分）
故 a＞1．…（1分）
（3）由$h（x+2）-h（x）={log_3}[（x+2）+\frac{k}{x+2}]-{log_3}（x+\frac{k}{x}）＞0$，…（1分）
即：${log_3}[（x+2）+\frac{k}{x+2}]＞{log_3}（x+\frac{k}{x}）$
∴$x+2+\frac{k}{x+2}＞x+\frac{k}{x}＞0$对任意x∈[1，+∞）都成立
∴$\left\{\begin{array}{l}k＜x（x+2）\\ k＞-{x^2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}k＜3\\ k＞-1\end{array}\right.⇒-1＜k＜3$…（3分）
当-1＜k≤0时，h（x）_min=h（1）=log₃（1+k）；      …（1分）
当0＜k＜1时，h（x）_min=h（1）=log₃（1+k）；        …（1分）
当1≤k＜3时，$h{（x）_{min}}=h（\sqrt{k}）={log_3}（2\sqrt{k}）$．…（1分）
综上：$h{（x）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}{log_3}（1+k），\;\;\;-1＜k＜1\\{log_3}（2\sqrt{k}），\;\;\;\;1≤k＜3.\end{array}\right.$…（1分）

点评 本题考查分段函数的应用，函数的综合应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．