Question

1．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin²x+cos²（$\frac{π}{4}$-x）-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$（x∈R）．
（1）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值；
（2）在△ABC中，若A＜B，且f（A）=f（B）=$\frac{1}{2}$，求$\frac{BC}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换的应用可化简f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），再利用正弦函数的单调性可求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值；
（2）在△ABC中，由A＜B，且f（A）=f（B）=$\frac{1}{2}$，可求得A=$\frac{π}{4}$，B=$\frac{7π}{12}$，再利用正弦定理即可求得$\frac{BC}{AB}$的值．

解答 （本题满分14分）第（1）小题满分（6分），第（2）小题满分（8分）．
解：f（x）=$\sqrt{3}$sin²x+cos²（$\frac{π}{4}$-x）-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
=$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1+cos（\frac{π}{2}-2x）}{2}$-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）
（1）由于0≤x≤$\frac{π}{2}$，因此-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，所以当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）取得最大值，最大值为1；
（2）由已知，A、B是△ABC的内角，A＜B，且f（A）=f（B）=$\frac{1}{2}$，
可得：2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，2B-$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，
解得A=$\frac{π}{4}$，B=$\frac{7π}{12}$，
所以C=π-A-B=$\frac{π}{6}$，
得$\frac{BC}{AB}$=$\frac{sinA}{sinC}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角函数的图象与性质，考查三角恒等变换的应用，突出考查正弦函数的单调性与最值及正弦定理，属于中档题．