Question

12．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k₁和k₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如果直线l的斜率等于-1，求出k₁•k₂的值；
（3）探讨k₁+k₂是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k₁+k₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程．
（2）直线l：y=-x+1，设AB坐标，联立$\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$利用韦达定理以及斜率公式求解即可．
（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x-1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可．

解答 解：（1）∵a=2，又c=1，∴$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{3}$，∴椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（2）直线l：y=-x+1，设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$消y得7x²-8x-8=0，有${x_1}+{x_2}=\frac{8}{7}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{8}{7}$．…（7分）
${k_1}•{k_2}=\frac{{{y_1}-3}}{{{x_1}-4}}•\frac{{{y_2}-3}}{{{x_2}-4}}=\frac{{-{x_1}-2}}{{{x_1}-4}}•\frac{{-{x_2}-2}}{{{x_2}-4}}=\frac{{{x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）+4}}{{{x_1}{x_2}-4（{x_1}+{x_2}）+16}}=\frac{1}{2}$…（9分）
（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$），
则${k_1}=\frac{{3-\frac{3}{2}}}{4-1}=\frac{1}{2}$，${k_1}=\frac{{3+\frac{3}{2}}}{4-1}=\frac{3}{2}$，故k₁+k₂=2．…（11分）
当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x-1），设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$消y得（4k²+3）x²-8k²x+（4k²-12）=0，
有${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$．…（13分）${k_1}+{k_2}=\frac{{{y_1}-3}}{{{x_1}-4}}+\frac{{{y_2}-3}}{{{x_2}-4}}=\frac{{k{x_1}-k-3}}{{{x_1}-4}}+\frac{{k{x_2}-k-3}}{{{x_2}-4}}=\frac{{2k{x_1}{x_2}-（5k+3）（{x_1}+{x_2}）+8（k+3）}}{{{x_1}{x_2}-4（{x_1}+{x_2}）+16}}$
=$\frac{{2k•\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}-（5k+3）•\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}+8（k+3）}}{{\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}-4•\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}+16}}=\frac{{72（{k^2}+1）}}{{36（{k^2}+1）}}=2$…（16分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力．