Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，若|a_n+1-a_n|=2ⁿ（n∈N^*），且{a_2n-1}是递增数列、{a_2n}是递减数列，则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}}$=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 依题意，可求得a₃-a₂=2²，a₄-a₃=-2³，…，a_2n-a_2n-1=-2^2n-1，累加求和，可得a_2n=$\frac{13}{3}$-$\frac{1}{3}$•2²ⁿ，a_2n-1=a_2n+2^2n-1=$\frac{13}{3}$+$\frac{1}{6}$•2²ⁿ；从而可求得$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}}$的值．

解答 解：∵a₁=1，a₂=3，|a_n+1-a_n|=2ⁿ（n∈N^*），
∴a₃-a₂=±2²，
又{a_2n-1}是递增数列、{a_2n}是递减数列，
∴a₃-a₂=4=2²；
同理可得，a₄-a₃=-2³，
a₅-a₄=2⁴，
a₆-a₅=-2⁵，
…，
a_2n-1-a_2n-2=2^2n-2，
a_2n-a_2n-1=-2^2n-1，
∴a_2n=（a_2n-a_2n-1）+（a_2n-1-a_2n-2）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁=1+2+（2²-2³+2⁴-…+2^2n-2-2^2n-1）=3+$\frac{4[1{-（-2）}^{2n-2}]}{1-（-2）}$=$\frac{13}{3}$-$\frac{4}{3}$•2^2n-2=$\frac{13}{3}$-$\frac{1}{3}$•2²ⁿ；
∴a_2n-1=a_2n+2^2n-1=$\frac{13}{3}$+$\frac{1}{6}$•2²ⁿ；
∴则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{\frac{13}{3}+\frac{1}{6}{•2}^{2n}}{\frac{13}{3}-\frac{1}{3}{•2}^{2n}}$=$\frac{\frac{1}{6}}{-\frac{1}{3}}$=-$\frac{1}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的递推式与数列的极限，求得a_2n与a_2n-1的解析式是关键，也是难点，考查推理能力与运算能力，考查累加法求和与公式法求和的综合应用，属于难题．