Question

5．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C₂的直角坐标方程；
（2）求曲线C₂的动点M到曲线C₁的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₂的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$），展开可得：ρ²=2$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ），利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直角坐标方程．
（2）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，消去参数t可得普通方程．利用点到直线的距离公式可得圆心C₂到直线C₁的距离d．即可得出曲线C₂的动点M到曲线C₁的距离的最大值=d+r．

解答 解：（1）曲线C₂的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$），
展开可得：ρ²=2$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ），可得直角坐标方程：x²+y²=2x+2y，
配方为：（x-1）²+（y-1）²=2，可得圆心C₂（1，1），半径r=$\sqrt{2}$．
（2）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，消去参数t可得普通方程：x+$\sqrt{3}$y+2=0．
∴圆心C₂到直线C₁的距离d=$\frac{|1+\sqrt{3}+2|}{2}$=$\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴曲线C₂的动点M到曲线C₁的距离的最大值=d+r=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．