Question

如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB=2，AC=BC=

2

．
等边三角形ADB以AB为轴运动．
（Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
（Ⅱ）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）取AB的中点E，连接DE，CE，
因为ADB是等边三角形，所以DE⊥AB．
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面ADB∩平面ABC=AB，
所以DE⊥平面ABC，
可知DE⊥CE
由已知可得DE=

3

，EC=1，在Rt△DEC中，CD=

DE2+EC2

=2．

（Ⅱ）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD．
证明：（ⅰ）当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD．

（ⅱ）当D不在平面ABC内时，由（Ⅰ）知AB⊥DE．又因AC=BC，所以AB⊥CE．
又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD?平面CDE，得AB⊥CD．
综上所述，总有AB⊥CD．