Question

9．已知平面向量$\overrightarrow{m}$=（a，sinx），$\overrightarrow{n}$=（b，cosx），若函数f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$的最小值为-$\frac{7}{2}$，求：
（1）函数g（x）=2^3+f（x）的递减区间；
（2）直线y=-$\frac{8}{3}$与函数y=f（x）在闭区间[0，π]上的图象的所有交点坐标．

Answer 1

分析 （1）由向量的知识可得f（x）=ab+$\frac{1}{2}$sin2x，由三角函数最值整体可得ab=-3，进而可得的g（x）=${2}^{\frac{1}{2}sin2x}$，由复合函数和三角函数单调性可得；
（2）令-3+$\frac{1}{2}$sin2x=-$\frac{8}{3}$可得sin2x=$\frac{2}{3}$，结合三角函数图象由反三角函数可得．

解答 解：（1）∵平面向量$\overrightarrow{m}$=（a，sinx），$\overrightarrow{n}$=（b，cosx），
∴函数f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=ab+sinxcosx=ab+$\frac{1}{2}$sin2x，
∵f（x）的最小值为-$\frac{7}{2}$，∴ab-$\frac{1}{2}$=-$\frac{7}{2}$，即ab=-3，
∴f（x）=-3+$\frac{1}{2}$sin2x，g（x）=2^3+f（x）=${2}^{\frac{1}{2}sin2x}$，
∴函数g（x）的单调递减区间即为y=sin2x的单调递减区间，
解2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{4}$，
∴函数的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z；
（2）令-3+$\frac{1}{2}$sin2x=-$\frac{8}{3}$可得sin2x=$\frac{2}{3}$，
∵[0，π]恰为函数y=sin2x的一个周期，
∴x=$\frac{1}{2}$arcsin$\frac{2}{3}$，或x=$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{2}$arcsin$\frac{2}{3}$，
∴交点坐标为（$\frac{1}{2}$arcsin$\frac{2}{3}$，-$\frac{8}{3}$），（$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{2}$arcsin$\frac{2}{3}$，-$\frac{8}{3}$）

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及复合函数的单调性和三角函数单调性以及向量的知识，属中档题．