Question

11．已知A（1，0）、B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（0，1）、F（2，1）、G（4，2）七个点，抛物线y=a（x-1）²+k（a≠0）经过其中的三个点．
（1）当a＜0时，求a和k的值；
（2）判定C、G两点是否能同时在抛物线y=a（x-1）²+k（a≠0）上，若能，求出a和k的值；若不能，请说明理由；
（3）若抛物线经过七个点中的三个，直接写出所有满足这样的条件的抛物线条数．

Answer 1

分析 （1）由抛物线开口向下，可得经过A，B，D，代入方程，即可得到a，k；
（2）假设C、G两点同时在抛物线y=a（x-1）²+k（a≠0）上，代入C，G的坐标，解方程可得a=0，即可判断是否存在；
（3）运用二次函数的对称性，结合图形即可得到所求抛物线的条数．

解答 解：（1）当a＜0，抛物线开口向下，
若顶点为A，则k=0，经过B，D两点，
即有-1=a（0-1）²，解得a=-1；
若顶点不为A，若经过B，则经过D，必过A，矛盾；
若经过E，则过F，由x=1的左边图象上升，右边下降，
则不存在经过第三个点．
故a=-1，k=0成立；
（2）假设C、G两点同时在抛物线y=a（x-1）²+k（a≠0）上，
即有2=a（-1-1）²+k，2=a（4-2）²+k，
解得a=0，与a≠0矛盾，
故不能同时在抛物线y=a（x-1）²+k（a≠0）上；
（3）由于对称轴为x=1，
若抛物线开口向下，则经过A，B，D三点，
若抛物线开口向上，则经过A，E，F三点．
故满足这样的条件的抛物线条数为2．

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查二次函数的对称性的运用，数形结合是解题的关键．