Question

已知f（x）=

1

3

x³+ax²+bx+4，g（x）=mx³-6mx²+2（m≠0），f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=-3x+

10

3

．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）讨论方程f（x）=k-2（x∈[0，3]）的根的个数；
（Ⅲ）是否存在实数m，使得对任意的x₁∈[-1，2]，总存在x₂∈[0，3]，使得g（x₁）=f（x₂）成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f（x）在（1，f（1））处的切线方程得到f′（1）和f（1）的值，联立方程组求得a，b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到函数f（x）d的解析式，利用导数求出函数在[0，3]上的值域，然后对k-2分类讨论分析方程f（x）=k-2（x∈[0，3]）的根的个数；
（Ⅲ）利用导数分析出g（x）的单调性，求出g（x）的极值与在区间[-1，2]上的端点值，由题意得到
g（x）⊆f（x），然后对m分类列不等式求解m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=

1

3

x³+ax²+bx+4，得
f′（x）=x²+2ax+b，
∵f′（1）=-3，f（1）=-3×1+

10

3

=

1

3

，
∴

2a+b=-4 a+b=-4

，解得：

a=0 b=-4

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=x²-4，f（x）=

1

3

x3-4x+4，
∴当x∈（0，2）时，原函数为减函数，当x∈（2，3）时，原函数为增函数，
又f（0）=4，f（2）=-

4

3

，f（3）=1．
∴当x∈[0，3]时，f(x)∈[-

4

3

，4]．
①当k-2＜-

4

3

或k-2＞4，即k＜

2

3

或k＞6时，函数y=f（x）与y=k-2无交点，
方程f（x）=k-2（x∈[0，3]）的根的个数是0．
②当-

4

3

＜k-2≤1，即

2

3

＜k≤3时，函数y=f（x）与y=k-2有2个交点，
方程f（x）=k-2（x∈[0，3]）的根的个数是2．
③当1＜k-2≤4，即3＜k≤6时，函数y=f（x）与y=k-2有1个交点，
或k=

2

3

时，函数y=f（x）与y=k-2有1个交点，
方程f（x）=k-2（x∈[0，3]）的根的个数是1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f(x)∈[-

4

3

，4]．
又g（x）=mx³-6mx²+2（m≠0），
∴g′（x）=3mx²-12mx=3mx（x-4），
令g′（x）=0，得x=0，
又g（-1）=2-7m，g（0=2），g（2）=2-16m，
由题意知g（x）⊆f（x），
当m＞0时，g（0）=2＜4，
g（-1）=2-7m≥-

4

3

，
g（2）=2-16m≥-

4

3

，
解得0＜m≤

5

24

；
当m＜0时，g（2）=2-16m≤4，
g（-1）=2-7m≤4，
解得-

1

8

≤m＜0．
故实数m的取值范围是0＜m≤

5

24

或-

1

8

≤m＜0．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，运用了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，解答（Ⅲ）时对题意的正确理解是关键，是压轴题．