Question

设0＜ω＜4，函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象若向右平移

2π

3

个单位所得到的图象与原图象重合，若向左平移

π

12

个单位所得到的图象关于y轴对称，则tan（ωφ）的值为

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据函数f（x）=sin（x+φ）的图象若向右平移

2π

3

个单位所得到的图象与原图象重合，可得

2π

3

=k•

2π

ω

，k∈N，结合ω的范围，可得ω 的值．根据f（x）的图象向左平移

π

12

个单位所得到的图象关于y轴对称，可得y=sin[3（x+

π

12

）+φ]为偶函数，可得 φ+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z，由此求得φ 的值，从而求得tan（ωφ）的值．

解答： 解：∵函数f（x）=sin（x+φ）的图象若向右平移

2π

3

个单位所得到的图象与原图象重合，
∴

2π

3

=k•

2π

ω

，k∈N，∴ω=3k．
结合0＜ω＜4，可得ω=3．
∵f（x）的图象向左平移

π

12

个单位所得到的图象关于y轴对称，故所得函数为偶函数，
∴y=sin[3（x+

π

12

）+φ]=sin（3x+φ+

π

4

）为偶函数，∴φ+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z．
故可取φ=

π

4

．
tan（ωφ）=tan

3π

4

=-1，
故答案为：-1．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的周期性和对称性，属于中档题．