Question

【题目】若存在实常数k和b，使得函数对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线的“隔离直线”，已知函数(e为自然对数的底数)，有下列命题：

①内单调递增；

②之间存在“隔离直线”，且b的最小值为；

③之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是；

④之间存在唯一的“隔离直线”．

其中真命题的序号为__________．(请填写正确命题的序号)

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

由题意结合“隔离直线”的定义逐一考查所给的说法是否正确即可.

结合题意逐一考查所给命题的真假：

①∵m(x)=f(x)g(x)=x2,，则，

∴F(x)=f(x)g(x)在内单调递增，故①对；

②、③设f(x)、g(x)的隔离直线为y=kx+b,则x2kx+b对一切实数x成立,即有△10,k2+4b0，b0，

又kx+b对一切x<0成立,则kx2+bx10,即△20,b2+4k0，k0，

即有k24b且b24k,k416b264k4k0，同理可得4b0，故②对，③错；

④函数f(x)和h(x)的图象在处有公共点,

因此若存在f(x)和g(x)的隔离直线，那么该直线过这个公共点,

设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为ye=k(x),即y=kxk+e，

由f(x)kxk+e(x∈R),可得x2kx+ke0当x∈R恒成立，

则△0,即，故,此时直线方程为：，

下面证明：

令，则，

当时,G′(x)=0,当时,G′(x)<0,当时,G′(x)>0，

则当时,G(x)取到极小值，极小值是0，也是最小值.

所以,则当x>0时恒成立.

∴函数f(x)和g(x)存在唯一的隔离直线，故④正确.

故答案为：①②④.